Hace algunas semanas un pana físico en la uni me propuso la siguiente ecuación:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12
La primera vez que uno ve un resultado así, la reacción inmediata es rechazo y duda, pero más que todo de curiosidad. ¡Y con razón! La serie de los números naturales es EL ejemplo canónico de divergencia. ¿Como va a ser que sumar todos los números enteros positivos resulte en un número fraccional negativo? Aquí intentan explicar lo que pasa:
No me convence... XD
La explicación en realidad no está tan mal, salvo que está basada en el hecho de que la serie de Grandi (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...) converge a 1/2. El argumento para esto último en el video es muy pobre. ¿Se toma el promedio? ¿En serio? Tapaojo y periquito mascota con esa explicación, jajaja. En otro video, intentan explicar ese resultado con un poco más de detalle. Aquí está:
Esto me convence MUCHO MENOS, jajaja...
En el video presentan básicamente dos estrategias.
- Una es basada en tomar los promedios de la suma, en vez de la suma en si. Para mi, esa estrategia no tiene mucho sentido. Que el promedio converga no necesariamente resulta en un valor para la suma per sé.
- Un argumento al cual si hay que pensar un poco más para refutar, es el argumento algebráico donde 1 - S = S y por lo tanto S = 1/2. El problema con el argumento algebráico es que se están manipulando series (sumas infinitas) como si fueran valores finitos. ¡Eso no está bien! Pasear simbólicamente S de un lado a otro de la ecuación no me parece correcto si consideramos la magnitud infinita de S. Igualmente, la evaluación de 1 - S me parece sospechosa. Ese cambio de signo a todos los elementos de la serie no me parece que deba hacerse tan liberalmente.
Your Kung-Fu is not strong enough!
Para mi, el resultado 1/2 es una casualidad que proviene del que la respuesta esté indeterminada. Así como una división entre cero puede manipularse (erróneamente) para forzar ecuaciones que son falsas, así sospecho que se está forzando este valor.
Ahora, no digo que los resultados estén malos. De hecho, algunas teorías físicas modelan la realidad usando este tipo de razonamientos y series pseudo-convergentes. Sin embargo, lo que busco es un argumento sólido que me convenza y me permita entender la naturaleza de estas transformaciones tan extravagantes. Si alguien tiene alguna, más que bienvenida será (pero advierto que soy MUY difícil de convencer, jajaja).
Ahora, no digo que los resultados estén malos. De hecho, algunas teorías físicas modelan la realidad usando este tipo de razonamientos y series pseudo-convergentes. Sin embargo, lo que busco es un argumento sólido que me convenza y me permita entender la naturaleza de estas transformaciones tan extravagantes. Si alguien tiene alguna, más que bienvenida será (pero advierto que soy MUY difícil de convencer, jajaja).
Y bueno, un nuevo post gallo para ustedes, jajaja. Me gustan bastante esos canales científicos de Youtube, pero los detalles inconclusos (y a veces hasta erróneos) no me salen de la mente hasta que se esclarecen, jajaja. ¡Hasta una próxima entrada bellezas y bellezos del mundo! :D
En Facebook, dos amigos me hicieron un par de comentarios que pueden terminar de aclarar bien de que trata este resultado tan extraño... Creo que vale la pena compartirlo por acá. :)
ResponderEliminarLuis Pulido compartió conmigo este video: ( https://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8FGk ), donde dan una demostración alternativa usando la transformada Z de Riemann. Ese video está mucho mejor, pero aún le falta. Brindan una explicación más clara y formal, además de justificarse con la aplicación de continuación analítica. Pero están suponiendo esa aplicabilidad como axioma, por lo que la coletilla de "dada nuestra suposición" es que la cosa da -1/12, es siempre necesaria.
Alejandro Flores compartió conmigo un enlace a Wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation ), donde se termina de poner la guinda sobre la torta para entender lo que está pasando. La suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... no es -1/12. En cambio, es un número asociado a la serie, llamado la suma de Ramanujan. Es un valor que se comporta de manera muy similar a una suma para la serie, en especial por que es único, pero no es más que una conveniencia dentro de una teoría alternativa. La suma 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + ... en efecto diverge, pero tiene propiedades manipulables con aplicaciones teóricas y prácticas.
¡Gracias a ambos! Ya estoy feliz. :)
jajajaja cuando ví el 1er video no me convenció, y el segundo que ví fue el que te mandó Luis, lo cual si me pareció bien por lo menos para una convergencia alrededor de "x=1" pero si la de Riemann solo funciona para X>1 no entiendo pq se puede hacer esto...sin embargo para la convergencia de la serie alrededor de -1 esta bien ( y soy demasiado floja como para hacer la misma demostración con números mas grandecitos...)
EliminarPS: Estoy en examenes y procrastinando el estudiar matemáticas viendo demostraciones de matemáticas.. no se que le paso a procrastinar viendo Doctor Who T.T
¡No hay mejor manera de prosrastinar de estudiar, que gallando con otra cosa! Es tan irónico, que lo hace mucho más divertido. XD
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